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研線小課堂 | 一次性做幾道數字問題,將它徹底拿下!
來源:研線網 | 2020-05-14 11:14:19
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我一向有個看法:若是某件事兒你覺得需要努力、需要堅持才行,那這事兒基本上從一開始就注定做不成了。因為需要努力、需要堅持,說明你骨子里不愿意做啊!

我很早就想明白了這個道理。于是,我磨煉出了不需要堅持就能做好事情的兩個技巧,這就是今天我要跟你分享的內容,這兩個技巧分別是:

1、在開始做事情前,先為這件事賦予重大意義。

一件事情,如果我們覺得做起來沒有意義,我們是不會有動力去做下去,并且樂此不疲的。你觀察一下小孩子,他們玩游戲的時候就是很專注,也不會嫌臟嫌累,只會覺得很好玩兒,而且玩兒的停不下來。所以,如果你要想把一件本來心里有些抗拒的事情好好做,認真做下去,就要給這件事情賦予重大的意義,讓這件事顯得很好玩兒。比如,你要想象等你考上了研究生,你的生活會怎么轉變,你的家人會如何獎勵你,你的男神女神會如何對你刮目相看,你的未來會更加有希望。多去想象一些這類東西,比你苦哈哈的做兩道題,管用多了。

2、思考如果不做這件事,會有哪些負面意義。

有時候,我們做事情,不單單是因為興趣、動力啥的,還有恐懼的原因。人在恐懼的時候是會爆發出巨大能量的,給你的腦袋一個恐怖的畫面,會嚇著它的。比如,想象你沒有好好學習,最終沒有考上研究生,自己垂頭喪氣,還得再來一年,還要在家人朋友面前抬不起頭來等等,這會讓你的大腦時刻處于危機之中。這也是很好的刺激自己的一種方法。

1

數字問題,是排列組合題中一類比較有代表性的題。這類題需要注意的事項比較多,比如末位為0為5,奇數偶數的問題,比如首位不能為零的問題等。今天我們就把常見的數字問題都列出來,統一做一遍,徹底掌握數字問題的做法。首先看一道簡單的題:

由0,1,2,3,4,5這六個數字:

(1)可組成多少個無重復數字的三位數?

(2)可組成多少個允許有重復數字的三位數?

第一問:三位數中,其中首位最特別。為啥?因為首位不能為0啊!所以我們從1,2,3,4,5中選擇一個放到首位,總共有5種選擇方法。然后再安排十位和個位,分別有5種和4種選擇方法。所以總計有5×5×4=100個。

 

第二問:允許有重復數字的三位奇數,則末位為1或3或5。當末尾為1時,首位可以在1,2,3,4,5中任意挑選,十位在0,1,2,3,4,5中任意挑選,所以共計有1×5×6=30個。同理,當末位為3或5時,也各有30個,所以共計90個。

這道題相對來說是比較初級的數字問題,我們來點有難度的:

從0,1,2,...,9這十個數字中任取五個不同數字:

(1)正好兩個奇數,三個偶數的不同取法有多少種?

(2)至多有兩個奇數的取法有多少種?

(3)取出的數中含5但不含3的取法有多少種?

第一問:分兩個步驟完成,先在1,3,5,7,9這五個奇數中任取兩個;再在0,2,4,6,8這五個偶數中任取三個。用乘法原理,總取法有

第二問:用加法原理,可涉及為三種方案:兩奇三偶,一奇四偶或五偶,所以總取法有:

第三問:先將5取出,再在0,1,2,4,6,7,8,9這八個數字中任取4個即可,因此不同取法為

2

上面的是兩道比較簡單的數字問題,下面我們來看兩道正常難度的數字問題:

由0,1,2,3,4,5:

(1)可組成多少個無重復數字的不同三位偶數?

(2)可組成多少個不同的三位偶數(允許有重復數字)?

(3)可組成多少個能被5整除的三位數(允許有重復數字)?

第一問:三位偶數,則個位為0,2,4。

當個位數字為0,百位從剩余的5個數字選,十位從剩余的4個數字選,有5×4=20種。

當個位數字為2,百位從剩余的4個非0數字選,十位從剩余的4個數字選,有4×4=16種。

當個位數字為4,百位從剩余的4個非0數字選,十位從剩余的4個數字選,有4×4=16種。

共計20+16+16=52種。

第二問:同樣的,三位偶數,個位為0,2,4。不過,這次允許有重復數字了。

當個位數字為0,百位從5個非0數字選,十位從6個數字選,有5×6=30種。

當個位數字為2或4時,情況和個位數字為0時一樣,所以分別都是30種。

共計30+30+30=90種。

第三問:能被5整除,則個位必須為0或者5。

當個位數字為0,百位從5個非0數字選,十位從6個數字選,有5×6=30種。

當個位數字為5,情況和個位數字為0一樣,也是30種。

共計30+30=60種。

3

上面做了幾道數字題,都是一些數字問題的常見類型,那真題中是什么考察形式呢?真題一般不會考察常見的類型,那是不是常見類型我們就不學習了?不是的,這是基礎,沒有基礎,哪有高樓大廈?真題一般會在很普通的面貌下,設置一些坑,讓你不知不覺中就掉進去,我們來看一道2014年的真題。

(2014)用0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的四位數,其中千位大于百位,百位大于十位的四位數個數是()

A,36    B,40    C,48    D,60    E,72

這道題首先肯定是已經隱含了首位不能為0的條件,其次,這里面說千位大于百位,百位大于十位,這個應該怎么去做?

有些同學已經想到要用窮舉法,讓千位分別為5,4,3,2。但這思路只能算是正常的思路,對于解決這道題還是不夠的,因為我們看一下答案,都是好幾十,窮舉法一般不會讓我們窮舉出很多數字,所以窮舉法的思路不可取。

那我們應該怎么辦?我們在學習排列組合這一章的時候,常說要誰特殊先安排誰,這里千位、百位、十位比較特殊,但是我們不知道如何下手,那這時候,其他位置,也就是個位反而是最特殊啊,因為它不涉及到被限制范圍。

那個位沒有限制條件,就可以從6個數字中任取了,想取誰取誰(老師也憧憬著想娶誰娶誰,那多好!),所以個位有6種取法。那其余3個位置,怎么辦呢?那我先不管,我先取出來3個數再說,從剩余的5個數字中任取3個。合起來就是

什么?老師,這怎么就完了?怎么5個里面任取3個就結束了?再說,首位不能為0還沒有考慮到呢,萬一這任取的3個數字中含有0可咋辦捏?別著急,且聽老師慢慢給你道來!

從5個數字中任取3個,這三個數字是不是有大有小有中間啊?那大的是不是只能去千位,中間的數字只能放在百位,小的數字只能放在十位啊?也就是取出的那一瞬間,它們的去向就決定了。

有0也不怕,0最小,就算取出來,也只能放在十位,首位是不可能放0的,最小也是2。看,真題就是這樣,出題人時時刻刻想著絆你一跤,坑你一下,你說,不好好學習,能行么?

好了,這期的內容我們就到這里了,歡迎大家閱讀、學習和交流,我們下期再見!

責任編輯:tjl
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